統計學（9）

推理統計實際上是群體的參數未知，使用樣本統計量來推理群體參數的方法。推理統計分為估計和檢定。

這篇文章介紹估計。估計分為點估計和區間估計。

點估計

定義：一個群體參數之點估計式或估計量（estimator）是一個法則（rule）或公式（formula），利用此法則或公式可以由樣本資料中計算出一個單一數值（single number）以估計群體參數。由點估計式所得之單一數值稱為該參數之估計值（estimate）。

例如，的估計值是，的估計值是，的估計值是。

區間估計

定義：一個群體參數之區間估計式（interval estimator）是一個法則（rule），利用此法則可以由樣本資料中計算出兩個數字（two numbers）或一個區間之上、下限以估計群體參數，並指出該區間包含群體參數的機率。

信賴係數：信賴係數（或信賴度）是指區間估計式之上下限，包含群體參數之機率或信心。

信賴區間的意義：我們有的信心認為統計量會落在計算出的區間內。

的區間估計

大樣本（large sample）

根據中央極限定理，服從常態分配：。

的信賴區間：（已知）、（未知）

稱信賴係數；稱信賴水準。一般使用95%。

小樣本（small sample）

前提：群體假定接近常態分配。

的信賴區間：

的區間估計

適用於大樣本（）的信賴區間：

的區間估計

前提：假定群體服從近似常態分佈。

信賴區間：

選擇樣本數以估計群體參數值

的選擇

我們期望：得到一個樣本數量n，使得的估計值同真實值的誤差不超過E個單位的機率為：

如果未知，則使用代替。

P的選擇

我們期望：得到一個樣本數量n，使得P的估計值同真實值的誤差不超過E個單位的機率為：

此公式中的p和q可以使用過去資料來估計。

兩個群體參數差異之區間估計

獨立樣本的平均數差異（）區間估計

大樣本：，如果和未知，使用代替（t分佈和z分佈接近）。

• 如果，群體參數
• 如果，群體參數
• 如果，群體參數和沒有辦法推論是有差異的。（注意！不是沒有差異，是沒有辦法證明有差異）

小樣本，和均未知，但假定，則有：

• 判斷方法：如果，則一般認為兩個沒有差。

小樣本：和均未知，但，則有：

配對樣本的平均數差異（）區間估計

之的信賴區間估計：

大樣本：

小樣本：

例：某健身中心針對欲減重者提供減肥運動計畫，並隨機抽取12位欲減重者參加此減肥運動計畫。兩個月後量測每位欲減重者之體重（以公斤為單位），減肥前後資料如下表所示。請找出減肥前後體重差異的95%信賴區間。請問減肥運動計畫是否有效？

解決如下：

獨立樣本的比例差差異（）區間估計

條件：大樣本（）

獨立樣本的變異數比的差異（）區間估計

選擇樣本大小（n）以估計兩群體參數差異

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