統計學（4）

這篇文章介紹機率和機率分佈的第一節。

機率的概念及介紹

1. 實驗（Experiment）：實驗是指一個可記錄一些觀察體（observations）量測值的過程（Process）。
   • 擲一個銅板十次
   • 擲一個骰子一百次
   • 量測某物的厚度一百次
2. 樣本空間（Sample Space）：一個實驗所有可能出現的結果之集合稱為樣本空間。
   • 擲一個骰子一次，S={1,2,3,4,5,6}
   • 擲一個銅板雨次，S={(正正),(正反),(反正),(反反)}
3. 事件（Event）：事件為實驗的一個結果。為樣本空間的全集合或部分集合。
   • 擲一個骰子一次，令事件A表看到的點數為奇數。
   • 丟一個銅板兩次，令事件B表看到兩個正面。
4. 簡單事件：一個事件若無法分解成兩個（含）以上其他事件，則此事件稱為簡單事件。
   • 擲一個骰子一次，觀察出現的數字。簡單事件類似：出現的數字為1。
5. 複合事件：一個事件若能分解成兩個（含）以上其他事件，則此事件稱為複合事件。
   • 擲一個骰子一次，觀察出現的數字。複合事件類似：出現的數字是奇數。
6. 事件A的機率：
   • No.(A)表示A事件的樣本個數
   • No.(S)表示樣本空間的樣本個數

條件機率

條件機率 P（AIB）表在已知B事件已發生的條件下，A事件發生的機率。

• ：A、B同時發生。

貝氏定理

我們來看一下能夠怎麼拆分。首先對於分母，P(B)被稱作全機率，它指的是B事件發生的機率。有兩種情況：

• B發生了，且A發生了：
• B發生了，且A未發生：

所以分母

再來看分子，剛剛我們有在寫：，帶上去就好了。所以最終貝氏定理的式子長這樣：

計數原理

如果很難從一個實驗中得知其樣本空間的元素個數，則需要用到計數原理來獲得樣本空間的元素個數。

乘法法則

假設某項行動（act）需要n步驟才能完成，若這些步驟分別以連續的方式且每步驟分別有m1，m2,m3，…，mn種方式可完成該步驟，則共有（m1•m2•m3•.•mn）不同方式可以完成該項行動。

例子：How many different two-letter “words” can be made up from the four letters A, B, C, D? The “word” may not make sense.

1. If a letter may be repeated.
2. If a letter may not be repeated.

解決該問題一共有兩步，第一步挑選第一個字母，第二步挑選第二個字母。

1. 第一步，有4種可能。第二步，有4種可能，則最後可能的結果有：種。
2. 第一步，有4種可能。第二步，有3種可能，則最後可能的結果有：種。

排列

由n個不同的事物中，一次隨機選出r個事物且不同的選取順序當成不同的選取方式（比如AB和BA是不同的）。則共有P(n, r)種不同排列方式可以完成此行動：

共有(n-1)!個不同排列方式可以把n個不同的事物排成一個圓圈(circle)。

組合

由n個不同的事物中，一次隨機選出r個事物且不同的選取順序當成相同的選取方式（AB和BA是相同的），則共有C(n, r)種不同排列方式可以完成此行動：

加法法則

事件的關聯性和機率法則

事件關聯性

• 相依：事件A的發生會受事件B的影響，反之亦然。
• 獨立：事件A的發生與事件B的發生無任何關係或彼此不會互相影響。
• 互斥：若事件A與事件B不可能同時發生，則兩事件互斥。

聯集、交集和互補

• 聯集：在進行一次實驗時，兩事件A與B的聯集（union）表示兩事件A事件發生、B事件發生或A與B同時發生之事件，AB事件的聯集以表之。
• 交集：在進行一次實驗時，兩事件A與B的交集（intersection）表示A與B同時發生之事件，AB事件的交集以表之。
• 互補事件：A的互補事件代表實驗中A不發生的事件，A的互補事件以或A’表之。

  事件的機率法則

  獨立事件

• A、B事件獨立，若且唯若
• A、B事件獨立，若且唯若

互斥事件

• A、B事件互斥，若且唯若
• A、B事件互斥，若且唯若